トランスに直流を重畳する場合のスペーサ厚み（ギャップ）の計算

真空管アンプで、トランスを自作したいと考えた。きっかけは下の①の資料である。
トランスの作り方については、資料が少なく、
以前紹介した、「マニアなら知っておきたいオーディオ雑誌のお宝記事8 トランスの作り方」
に載せた①「アウトプットトランスの作り方」（「ラジオ技術」２００１年/８月、９月）などが参考になる。
ちなみに、加藤一郎先生のサイトは、最近よりリンク切れとなっている。

トランスの設計資料については文献が数少ないが、その他、役に立つかもしれない、めぼしい文献を図書館の検索窓等で検索したので、列挙すると、
（あ）「トランスの基本動作と材料」（「ラジオ技術」１９９３/４月～７月）鈴木道夫、
（い）「スイッチング電源のコイルトランス設計」 磁気回路-コア選択-巻き線の難題を解く　戸川治朗 著
（う）「図解変圧器 基礎から応用まで」　坪島茂彦, 羽田正弘 共著 東京電機大学出版局 1981
（え）「インダクタ/トランスの解析Magnetics Designer入門 : スイッチング電源設計をシミュレーションで効率アップ　真島寛幸 著 CQ出版 2012」
（お）「トランス活用マニュアル」　松井昭夫, 高橋勇 共著 オーム社 1995
（か）「変圧器の原理と種類」　荻野昭三 著 電気書院 2000 (d-bookシリーズ)
（き）「変圧器の構造と結線」 (dーbookシリーズ) 2013/10/27　荻野 昭三 (著)
（く）「変圧器設計法　牧乙人 著 電気書院 1942」
などがある。

そこで、本題に入る。
真空管アンプのチョークトランス、出力トランスでは、直流を重畳するが、
トランスに直流を重畳する場合のスペーサ厚み（ギャップ）の計算はどのようにするかという点である。
まず、そもそも、トランスのコアにスペーサ（ギャップを）設けるとどのようになるかという点であるが、
（ａ）トランスの磁束密度が下がる。
（ｂ）重畳した直流電流の量に関わらず、ある程度までインダクタンス一定の特性となる。
という点にある（（ｂ）については（「コイルを使う人のための話 第一部 – サガミエレク」（Adobe PDF）ｐ１４、「コイル・トランス：直流重畳特性｜アンシス・ジャパン株式会社」参照）。）

ではその計算方法についてであるが、めぼしいまとまった資料は少なく、上記①「アウトプットトランスの作り方」（「ラジオ技術」２００１年/８月、９月）の９月号に説明があるぐらいである。
ネットで、その文献に登場する「最適空隙比」を「トランス」とともに登場すると、ほとんど文献がなく、ただ、この文献①に基づくとみられる「6CA7シングルアンプ用トランスの設計メモ」以外は最適空隙比という言葉は一般的には使われていないようである。この設計メモは、文献①の式そのままを式変形して使い、設計されているようである。

以下、①を、引用させていただいた（赤枠は筆者が付した）。
文献が少なく非常にありがたい資料ではあるが、
説明に矛盾があり、理論的にも疑問を感じたから、注意や問題提起をしようと思ったからである。

ここで、上の方で、「最適空隙比lg＝２２．１」とあり、下の方で「lg=22.1×0.001626」とあり、記述が矛盾してます。ここで、別のページによれば、２２．１という数字は、平均磁路長（ｃｍ）と記述されています。それだけでなく、計算してみてもまったく計算が合わず、Ｂ＝０．４π×ＮＩ/（１/μ＋lg）という「基本式」が信頼できないと感じました。

そこで、理論的根拠を求めようとして、ネット上を探そうとしたのですが、「最適空隙比」という言葉は一般的でないようで検索に引っかからず、かつ「トランス」の設計資料は少なく困ってしまいました（「変圧器」と検索すると三相交流などの話が出てきます。）。それゆえ、上記のとおり、文献のリストを探しまくったのですが、「磁気回路　ギャップ」として検索して、ようやく役に立つ文献に多数出会うことが出来ました。

例えば、「OKAWA Electric Design 」というサイトの「磁気回路２」（文献②とする）や、茨城大学のｐｄｆ（「§30.11 磁気回路」）（（文献③とする）が参考になります。

ここで、特に前者の文献②に基づき、自身が理解したことを書きますと、
磁気回路についても、オームの法則と同じように電圧、電流、抵抗についての計算が成り立ち、
電圧に相当する「磁位」は、Ｎ×Ｉ（つまり巻回数×電流）であり、
そういう磁場を発生させる状態が、磁気抵抗で消費されるイメージとなる。
電流に相当するのが、その磁気回路に流れる磁束で、
その磁束の量は、磁気回路の断面積、長さ、透磁率によって定まる磁気抵抗で決まる。磁気抵抗は、磁気回路の断面積Ａ、透磁率μに反比例し、磁気回路の長さに比例する。
つまり磁気抵抗Ｒ＝Ｌ/（μ×Ａ）になります。

そうすると、例えば、磁気回路の間に隙間（ギャップ）を設けると、
その隙間の部分（空気の透磁率）の磁気抵抗が、磁気回路に直列に入ることになり、
鉄心のμが、例えば６５００、ギャップが０．１ｍｍとしても、
鉄心に引き直して、６５０ｍｍ分の磁気抵抗が加わることになり、
磁束密度がかなり減ることになります。

そういうわけで、この理論的根拠に戻り、
改めて、鉄心に通る総磁束Φ（ウェーバー）を計算しますと、

（式１）
N・I/｛L/μA + 　D/μ0A｝となります。
ここで、A：鉄心断面(m2)、L：磁束長(m)。D：ギャップ長合計(m)、I:電流(A)、N:巻数です。
そして、磁束密度Ｂ（テスラ）は、面積当たりの磁束（ウェーバー/m2）になりますから、

（式２）

ここで、μ：透磁率の絶対値、μ０：空気の透磁率≒真空の透磁率、μ’：比透磁率
また、１ガウス=10^-4テスラ、
真空の透磁率＝４π・10-７テスラ ＝２．５・10-6テスラ ＝４π・10-3ガウス
となります。

さらに、上記文献①の「Ｂ＝０．４π×ＮＩ/（１/μ＋lg）」に合わせるため、
１/μを露出するよう、以下の通り、式変形してみました。

（式３）
ここで、
上記文献①の０．４πは、この４πに単位を合わせる計算をしたものと推測できますが、
割り算の項には、Ｌが掛けられますから、（１/μ）が独立項として足し算になる意義がよくわかりません。
また、同文献のｐ５６には、「実効断面積Ａ　　１５．８ｍｍ２」となっていますが、
Ｃ（３５ｍｍ）×ｔ（５０ｍｍ）×０．９＝１５．８ｃｍ２の明らかな間違いです。
さらに、この文献では、「透磁率」が「６５００」であるなどと書いてありますが、
「オリエント　コア」で、新日鉄のｐｄｆを検索して分かるように、
これは、厳密には、比透磁率の間違いです。

というわけで、上記文献を引用し、注意、問題提起を促すことにしました。

また、上記文献の「スペーたサ厚み＝最適空隙比×平均磁路長/２」は、
ＥＩコアにおいて、隙間はＥＩで、３つできることになるはずですが、
断面積はＥの中央部の―とコとの接続部分の断面積で、
その他コの部分の角の断面積はその約半分となっており、
その断面積を考慮して、２倍にしものと考えられます。
つまり、ロ型の磁気回路を２つ付き合わせた「ロロ」型コアと考えると、
それぞれの隙間４つのうち、２つが付き合わされ磁気経路の断面積が倍になっているという考え方になると思います。
この式を変形すると、スペーサ厚みｘ２＝上記Ｄとなり、
理論的には、（式２）に戻り、これを代入して、以下の式で計算すべきことになります。

それから、上記文献では「０．４π×ＮＩ/（１/μ＋lg）」などとしてありますが、
単位の指示もよくわからないので、すべてメートル、アンペア、テスラに直して、計算します。
ここで、上記①の文献では、１次巻き数Ｎ＝２９８４回、実効断面積Ａ＝１５．８ｃｍ２、平均磁路長Ｌ＝２２．１ｃｍ、Φ＝８０００ガウス、比透磁率μ’＝６５００、Ｉ＝８０ｍＡを採用しており、
ｍ、Ａ、テスラの単位系に直しつつ、再計算すると、
８０００ガウス＝８０００×１０＾－４テスラ
＝{４π×（１０^－７）×２９８４×（０．０８）｝/｛（０．２２１/６５００）＋２ｄ｝

０．８テスラ＝0.000299984/(0.000034＋2d)
.000299984/0.8＝0.00037498＝0.000034+2d
２ｄ＝0.00034098（ｍ）＝0.34098（ｍｍ）
よって、ｄ＝0.17ｍｍとなります。
というわけで、最適空隙比の意味はよくわかりませんが、
文献①第５表（ｐ５８）のｄ＝０．１８ｍｍとほぼ同じになりました。

ちなみに、トロイダルコアなどで切断した場合には、
Ｌの代わりにＬ－２ｄなどとして方程式を解く必要が出るかもしれません。

それから、実効インダクタンスについては、
文献①によれば、Ｌｐ＝４π・Ｎ^２・μ・Ａ/（１＋ｌｇ）１０＾９だそうですが、
文献②によれば、インダクタンスをＬとして、
「さらに自己インダクタンスは単位電流あたりのコイルの鎖交数なので，
上式をNΦ=LI に代入してＬ＝ＮΦ/Ｉ」とされており、
インダクタンスＬ０＝ＮＢＡ/Ｉ
＝（４π・１０＾－７）・（Ｎ^２）・Ａ/｛（Ｌ/μ）＋２ｄ｝となります
（単位はすべて、メートル、アンペア、Ｌは磁路長）。

上記の例では、
Ｌ０＝３１３７（回）・０．８テスラ/１５．８×１０－４（ｍ＾２）/０．０８（Ａ）
＝４９．５６（Ｈ）
となりました。

これでようやく、出力トランス、チョークコイルの隙間の計算がきちんと出来るようになりました！！（大変でした。）

＜追伸＞
「「トランスの基本動作と材料」（「ラジオ技術」１９９３/４月～７月）鈴木道夫」を見ると、
磁力長Lの小文字が、どう見ても「１」と区別できず、「１」であると言われればそうなるような文字で、
それゆえ、①「アウトプットトランスの作り方」（「ラジオ技術」２００１年/８月、９月）に誤植が生じたのではないか、とも思えます。この①では、明らかに「１」となっています（となりのLｇとは字体が違いますから。）。